Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（

2

，0），右頂點(diǎn)為（1，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k＞0）與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且

OA

•

OB

＞3（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）由雙曲線的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)易知其標(biāo)準(zhǔn)方程中的c、a，進(jìn)而求得b，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程即得；
（2）首先把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，然后消y得x的方程，由于直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則關(guān)于x的方程必為一元二次方程且判別式大于零，由此求出k的一個(gè)取值范圍；再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用k的代數(shù)式表示出x_A+x_B，x_Ax_B，進(jìn)而把條件

OA

•

OB

＞3轉(zhuǎn)化為k的不等式，又求出k的一個(gè)取值范圍，最后求k的交集即可．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由已知得a=1，c=

2

∴b²=c²-a²=1．
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1；
（2）將y=k（x-1）代入x²-y²=1得（1-k²）x²+2k²x-（k²+1）=0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得

1-k2≠0 △＞0

即k²≠1．①
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
則x_A+x_B=-

2k2

1-k2

=

2k2

k2-1

，x_Ax_B=

k2+1

k2-1

，由

OA

•

OB

＞3得x_Ax_B+y_Ay_B＞3
而x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A-k）（kx_B-k）=（1+k²）x_Ax_B-k²（x_A+x_B）+k²=

k2+1

k2-1

．
于是

k2+1

k2-1

＞3，即有

2-k2

k2-1

＞0，解得，1＜k²＜2   ②
由①、②得1＜k²＜2，
故k的取值范圍為．（-

2

，-1）∪（1，

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，考察字母運(yùn)算能力，屬于難題．