Question

6．已知函數(shù)f（x）=2x²+3，g（x）=a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，若對于任意的x∈R，不等式f（x）＞g（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3）．

Answer 1

分析 不等式f（x）＞g（x）恒成立，即2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$恒成立，分離參數(shù)可得a＜$\frac{2{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$恒成立，換元求最值，即可確定實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：不等式f（x）＞g（x）恒成立，即2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$恒成立．
∴a＜$\frac{2{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$恒成立．
設t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$（t≥1），則y=2t+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上單調遞增，
∴t=1，y_min=3，
∴a＜3．
故答案為：（-∞，3）

點評 本題考查不等式（函數(shù)）恒成立問題，考查學生的計算能力，正確分離參數(shù)求最值是關鍵．