在△ABC中，已知∠BAC=150°，且
AB
•
AC
=-4
3
，設(shè)D是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，△DAB、△DBC、△DCA的面積依次為m、n、p，則當(dāng)p=1時(shí)，
1
m
+
4
n
的最小值為（　�。�
A、3B、5C、7D、9
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計(jì)算題,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：運(yùn)用數(shù)量積的定義，求得|
AB
|•|
AC
|=8，再由三角形的面積公式，求得△ABC的面積，再由m+n=1，則
1
m
+
4
n
=（m+n）（
1
m
+
4
n
），化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式即可得到最小值．
解答： 解：∠BAC=150°，且
AB
•
AC
=-4
3
，
則|
AB
|•|
AC
|•cos150°=-
3
2
|
AB
|•|
AC
|=-4
3
，
即有|
AB
|•|
AC
|=8，
則有S△ABC=
1
2
|
AB
|•|
AC
|•sin150°=
1
2
×8×
1
2
=2，
由于m+n+p=2，p=1，則m+n=1，
則
1
m
+
4
n
=（m+n）（
1
m
+
4
n
）=5+（
n
m
+
4m
n
）
≥5+2
n
m
•
4m
n
=9．
當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=
2
3
，取得最小值9．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角形的面積公式以及基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=
lnx
x
+2x，0＜a＜b＜e，則（　�。�
A、f（a）＞f（b）
B、f（a）＜f（b）
C、f（a）=f（b）
D、f（a）f（b）＞0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），其中x∈[-
π
2
，
π
2
]．求證：（
a
+
b
）⊥(
a
-
b
)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，AB是圓O的直徑，AB=2，點(diǎn)C在圓O上，且∠ABC=60°，V到圓O所在的平面的距離為3，且VC垂直于圓O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥平面VBC；
（2）求三棱錐V-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下面四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（　　）
A、若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α
B、若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β
C、若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α
D、若 a∥α，α⊥β，則a⊥β

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=g（2-x），f（x）=
g(x)(x≠2)
1(x=2)
，若關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，則x1+x2+x3=（　�。�
A、0B、2C、4D、6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若連續(xù)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且函數(shù)y=（2-x）f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A、f（x）有極大值f（3）和極小值f（2）
B、f（x）有極大值f（-3）和極小值f（2）
C、f（x）有極大值f（3）和極小值f（-3）
D、f（x）有極大值f（-3）和極小值f（3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，an+1=3Sn(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�
A、數(shù)列是{an}等比數(shù)列
B、數(shù)列a2，a3，…，an是等比數(shù)列
C、數(shù)列是{an}等差數(shù)列
D、數(shù)列a2，a3，…，an是等差數(shù)列

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程：
x=
2
2
t-
2
y=
2
2
t
（t為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則以極點(diǎn)為圓心與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為
 
．

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