橢圓為封閉圖形，雙曲線、拋物線為不封閉圖形，其圖形不一樣，但它們都可以用平面截對頂圓錐面得到，它們都滿足曲線上的點到焦點的距離與到準線的距離之比為常數(shù)，即離心率e，定義上的統(tǒng)一，必然也蘊含著圖形統(tǒng)一，應該如何解釋這種現(xiàn)象呢？

思路:三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以，圓錐曲線在圖形上依然存在著統(tǒng)一.探究:我們知道，橢圓時離心率e越大，橢圓越扁；雙曲線時離心率e越大，雙曲線開口越大.隨著e的增大，橢圓越變越扁，但左半部分開口越來越大，左頂點離l越來越近，而右頂點離F點越來越遠；當e趨近于1時，左頂點趨近于F與l間的中點，而右頂點趨向無窮遠處；當e=1時，我們可以大膽地認為右頂點在無窮遠處，此時曲線變?yōu)閽佄锞�；當e＞1時，開口越來越大，右頂點超過無窮遠處并開始返回，此時曲線變?yōu)殡p曲線兩支，或認為雙曲線兩支無限延伸交于無窮遠處，如圖3-3-3.

                                                        圖3-3-3

于是我們可以猜想：三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以，圓錐曲線在圖形上依然存在著統(tǒng)一,這是一種無限的思想.

因為頂點（曲線與兩個坐標軸的交點）如A1是圓錐曲線上的點，所以滿足=e，當e→1時，A1向中點靠近；當e=1時，A1位于中點；當e→＋∞時，A1向N靠近.這里A1只是的內分點，其實滿足=e還有一個外分點，即另一頂點A2，滿足=－e.當e＜1時，圓錐曲線為橢圓，所以它的外分點A2位于NF的延長線上；當e→1時，A2離F點越遠；當e=1時，外分點不存在，或者我們就可以理解為A2位于無窮遠處，所以拋物線只有一個頂點；當e＞1時，圓錐曲線為雙曲線，外分點A2位于NF的反向延長線上；e→＋∞時，A2從左側向N靠近.

    這也揭示了為什么橢圓有兩個頂點，拋物線只有一個頂點，雙曲線有兩個頂點，及它們之間的區(qū)別，你可以由此進一步理解圓錐曲線的內在統(tǒng)一性.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1：
|x|
a
+
|y|
b
=1(a＞b＞0)所圍成的封閉圖形的面積為4
5
，曲線C1的內切圓半徑為
2
5
3
．記C2為以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓C2的標準方程；
（Ⅱ）設AB是過橢圓C2中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點．
（1）若|MO|=λ|OA|（O為坐標原點），當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程；
（2）若M是l與橢圓C2的交點，求△AMB的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（0，-5），F(xiàn)2（0，5），一雙曲線上任意一點M滿足||MF1|-|MF2||=8，則該雙曲線的一條漸近線與曲線y=x2圍成的封閉圖形的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．

（1）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年上海市高二下學期期中考試數(shù)學 題型：填空題

1.   我們可以運用下面的原理解決一些相關圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個封閉圖形所截得線段的比為定值，那么甲的面積是乙的面積的倍，你可以從給出的簡單圖形①（甲：大矩形、乙：小矩形）、②（甲：大直角三角形乙：小直角三角形）中體會這個原理，現(xiàn)在圖③中的曲線分別是與，運用上面的原理，圖③中橢圓的面積為                 ．

 

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