Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=AA₁．
（1）設E，F(xiàn)分別為AB₁、BC₁的中點，求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：AC⊥AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB則交A₁B于E，且為A₁B中點，又F為BC₁的中點EF∥A₁C₁ A₁C₁ ∥AC由公理4，可得EF∥AC從而由線面平行的判定定理得到結論．（2）由AB=AA₁得到四邊形ABAA₁是正方形，從而有AB₁⊥A₁B，再由AB₁⊥BC₁可知AB₁⊥平面A₁BC₁由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面ABAA₁從而有AC⊥AB．
解答：解：（1）連接AB則交A₁B于E，且為A₁B中點，又F為BC₁的中點
∴EF∥A₁C₁ A₁C₁ ∥AC
EF∥AC
∴EF∥平面ABC
（2）∵AB=AA₁
∴四邊形ABAA₁是正方形，
∴AB₁⊥A₁B
∵AB₁⊥BC₁
所以AB₁⊥平面A₁BC₁
∴AB₁⊥A₁C₁
∴AB₁⊥AC
又BB₁⊥AC
∴AC⊥平面ABAA₁
∴AC⊥AB
點評：本題主要考查了立體幾何中線面之間的位置關系及其中的公理和判定定理，也蘊含了對定理公理綜合運用能力的考查，屬中檔題