Question

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別是橢圓+=1 的左、右焦點(diǎn)，三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足sinA-sinB=sinC，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是

1. A.
   -=1
2. B.
   -=1 （x＜0）
3. C.
   -=1 （x＜-2 ）
4. D.
   -=1

Answer 1

C
分析：利用正弦定理可把sinA-sinB=sinC化為|BC|-|AC|=|AB|，從而判斷頂點(diǎn)C是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支（除掉與x軸的交點(diǎn)），根據(jù)已知條件求出相關(guān)量即可求得方程．
解答：因?yàn)锳、B是橢圓橢圓+=1 的左、右焦點(diǎn)，所以A（-4，0），B（4，0），
由正弦定理得，=2R（R為△ABC外接圓的半徑），
所以由sinA-sinB=sinC，得，即|BC|-|AC|=|AB|=4＜|AB|，
所以頂點(diǎn)C是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支（除掉與x軸的交點(diǎn)），
設(shè)頂點(diǎn)C的軌跡方程為=1（x＜-a），
則a=2，c=4，所以b²=c²-a²=16-4=12，
故頂點(diǎn)C的軌跡方程為．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線方程的求法及正弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，本題需注意所求軌跡上的點(diǎn)C為三角形頂點(diǎn)，故與A、B不共線．