函數(shù)f(x)=1-ax2(a>0,x>0),該函數(shù)圖象在點(diǎn)P(x,1-ax2) 處的切線為l,設(shè)切線l 分別交x 軸和y 軸于兩點(diǎn)M和N.
(1)將△MON (O 為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S 表示為x 的函數(shù)S(x);
(2)若在x=1處,S(x)取得最小值,求此時(shí)a的值及S(x)的最小值;
(3)若記M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(m,0),函數(shù)y=f(x) 的圖象與x軸交于點(diǎn)T(t,0),則m與t的大小關(guān)系如何?證明你的結(jié)論.
【答案】分析:(1)根據(jù)道說的幾何意義可得函數(shù)圖象在點(diǎn)P(x,1-ax2) 處的切線的斜率為f(x)=-2ax再由點(diǎn)斜式寫出切線方程然后根據(jù)題意易得M,N的坐標(biāo)再根據(jù)面積公式即可得解.
(2)在第一問的基礎(chǔ)上可利用判斷出s(x)的單調(diào)性然后根據(jù)單調(diào)性可得出S(x)的最小值以及取得最小值時(shí)a的值.
(3)求出t的值結(jié)合(1)得m=再結(jié)合t的值將m拆成和的形式在利用基本不等式進(jìn)行放縮即可得解.
解答:解:(1)∵f(x)=1-ax2(a>0,x>0)
∴f(x)=-2ax
∴f(x)=-2ax
∴函數(shù)圖象在點(diǎn)P(x,1-ax2) 處的切線為y-(1-ax2)=-2ax(x-x)即y=-2axx+1+ax2
∴M(,0),N(0.1+ax2
=

(2)令

∴當(dāng)0<x時(shí)s(x)<0則s(x)單調(diào)遞減
  當(dāng)時(shí)s(x)>0則s(x)單調(diào)遞增
=1 時(shí),面積最小此時(shí) 
(3)由題意知t=
又∵m===
∴m≥t
點(diǎn)評:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是第一問要知道在某一點(diǎn)出切線的斜率即為在這一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),而第二問要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)S(x)的單調(diào)性進(jìn)而求其最小值,第三問關(guān)鍵是將m拆成和的形式在利用基本不等式進(jìn)行放縮.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
;g(x)=
1-m•2x
1+m•2x

(I)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域;
(II)若對任意x∈[0,+∞),總有|f(x)|≤3成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若m>0(m為常數(shù)),且對任意x∈[0,1],總有|g(x)|≤M成立,求M的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x
+(
1
4
)x
;g(x)=
1-m•2x
1+m•2x

(1)若對任意x∈[0,+∞),總有f(x)>0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若m>0(m為常數(shù)),且對任意x∈[0,1],總有|g(x)|≤M成立,求M的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于定義在D上的函數(shù)f(x),如果存在常數(shù)M和N,使得對于任意x∈D,都有M≤f(x)≤N成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)下界,N稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)上界.
(1)判斷函數(shù)f(x)=log2x-x2在(0,+∞)上是否為有界函數(shù),不必說明理由;
(2)判斷函數(shù)f(x)=1+(
1
2
x+(
1
4
x在[0,+∞)上是否為有界函數(shù),請說明理由
(3)若函數(shù)f(x)=1+a(
1
2
x+(
1
4
x在[0,+∞)上是有界函數(shù),且3是f(x)的一個(gè)上界,-3是f(x)的一個(gè)下界,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(1-a)x(x<1)
4+
a
2x
(x≥1)
是(-∞,+∞)上的增函數(shù),則a的取值范圍是( 。
A、a≥-2B、-2≤a<0
C、a<0D、a≤0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.
舉例:f(x)=x,D=[-3,2],則對任意x∈D,|f(x)|≤3,根據(jù)上述定義,f(x)=x在[-3,2]上為有界函數(shù),上界可取3,5等等.
已知函數(shù)f(x)=1+a•2x+4x,g(x)=
1-2x1+2x

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)求函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界T的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是以3為上界的函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案