Question

已知點P（x₁，y₁）是函數(shù)f（x）=2x上一點，點Q（x₂，y₂）是函數(shù)g（x）=2lnx上一點，若存在x₁，x₂使得|PQ|≤

2 5

5

成立，則x₁的值為（　�。�

• A、

  1

  5

• B、

  2

  5

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：直線與圓

分析：由點P在直線l上，知P、Q兩點間距離最近等價于函數(shù)g（x）=2lnx的圖象在點Q（x₂，y₂）處的切線的斜率為2，且過P、Q點的直線與直線l垂直，計算即可．

解答： 解：根據(jù)題意可知，當(dāng)|PQ|=

2 5

5

成立時，
函數(shù)g（x）=2lnx的圖象在點Q（x₂，y₂）處的切線與函數(shù)f（x）=2x的圖象平行，
故函數(shù)g（x）=2lnx的圖象在點Q（x₂，y₂）處的切線的斜率與函數(shù)f（x）=2x的圖象的斜率相等，
又因為g′(x)=

2

x

，所以

2

x2

=2，
即x₂=1，從而y₂=0，
則當(dāng)|PQ|=

2 5

5

成立時，點Q坐標(biāo)為Q（1，0）．
則過Q點、P點的直線與函數(shù)f（x）=2x的圖象垂直．
又P點坐標(biāo)可寫成P（x₁，2x₁），
故有

2x1-0

x1-1

=-

1

2

解得x1=

1

5

．
故答案為：A．

點評：本題考查兩點間距離，充分利用了圖象上的點到直線的距離最短時為過這點的切線與該直線平行這一特性．