Question

 

設(shè)函數(shù)f(x)=x²-mlnx,h(x)=x²-x+a.

（I）   當(dāng)a=0時，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍;

（II）  當(dāng)m=2時，若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同零點(diǎn)，求實數(shù) a的取值范圍;

（III） 是否存在實數(shù)m，使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x

即 ┉┉┉┉┉┉┉┉1分

記，則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于.

求得 ┉┉┉┉┉┉┉┉2分

當(dāng)時;;當(dāng)時， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分

故在x=e處取得極小值，也是最小值，

即，故. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分

（2）函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點(diǎn)等價于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分

令g(x)=x-2lnx,則 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分

當(dāng)時，,當(dāng)時，

g(x)在[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)。

故 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分

（3）存在m=，使得函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性

,函數(shù)f(x)的定義域為（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分

若，則，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不合題意;┉┉┉11分

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞)

單調(diào)遞減區(qū)間為(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分

而h(x)在(0,+∞)上的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，+∞)

故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

即當(dāng)m=時，函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在其公共定義域上具有相同的單調(diào)性。┉14分