Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，（cosα+sinα）a_n+1=sinα•S_n+2cosα-sinα，（n∈N^*），α∈（0，π），若對(duì)任意n∈N^*，a_n+1＞a_n＞0恒成立，則α的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，再利用對(duì)任意n∈N^*，a_n+1＞a_n＞0恒成立，三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：當(dāng)n≥2時(shí)，（cosα+sinα）a_n+1=sinα•S_n+2cosα-sinα，
（cosα+sinα）a_n=sinα•S_n-1+2cosα-sinα，
∴（cosα+sinα）a_n+1-（cosα+sinα）a_n=sinα•a_n．
∴（cosα+sinα）a_n+1=（cosα+2sinα）a_n．
又對(duì)任意n∈N^*，a_n+1＞a_n＞0恒成立，
∴

an+1

an

=

cosα+2sinα

cosα+sinα

＞1．
∴

sinα

cosα+sinα

＞0．
∵α∈（0，π），
∴sinα＞0．
∴cosα+sinα＞0，
∴α∈(0，

3π

4

)．
故答案為：(0，

3π

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用“當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”、數(shù)列的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．