【題目】如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面是邊長為a的正方形,側(cè)棱PDa , PAPC a ,

(1)求證:PD⊥平面ABCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD
(3)求二面角PACD的正切值.

【答案】
(1)證明:∵PD=a,DC=a,PC= a,∴PC2=PD2+DC2,

∴PD⊥DC.同理,PD⊥AD,又AD∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD


(2)證明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,又四邊形ABCD是正

方形,∴AC⊥BD,又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB.又AC平面PAC,

∴平面PAC⊥平面PBD


(3)設(shè)AC∩BD=O,連接PO.

由PA=PC,知PO⊥AC.又DO⊥AC,故∠POD為二面角P-AC-D的平面角.易知OD= .

在Rt△PDO中,tan∠POD= .


【解析】(1)由題意利用線面垂直的判定定理即可得證。(2)由(1)可得DO⊥AC,再根據(jù)四邊形ABCD為正方形即可得AC⊥BD,由線面垂直的判定定理可得到AC⊥平面PDB,再由面面垂直的判定定理即可得證。(3)根據(jù)題意作出輔助線由垂直關(guān)系可得出∠POD為二面角P-AC-D的平面角,在Rt△PDO中利用邊的關(guān)系求出正切值即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,以及對平面與平面垂直的判定的理解,了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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