【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的正方形,側(cè)棱PD=a , PA=PC= a ,
(1)求證:PD⊥平面ABCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求二面角P-AC-D的正切值.
【答案】
(1)證明:∵PD=a,DC=a,PC= a,∴PC2=PD2+DC2,
∴PD⊥DC.同理,PD⊥AD,又AD∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD
(2)證明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,又四邊形ABCD是正
方形,∴AC⊥BD,又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB.又AC平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBD
(3)設(shè)AC∩BD=O,連接PO.
由PA=PC,知PO⊥AC.又DO⊥AC,故∠POD為二面角P-AC-D的平面角.易知OD= .
在Rt△PDO中,tan∠POD= .
【解析】(1)由題意利用線面垂直的判定定理即可得證。(2)由(1)可得DO⊥AC,再根據(jù)四邊形ABCD為正方形即可得AC⊥BD,由線面垂直的判定定理可得到AC⊥平面PDB,再由面面垂直的判定定理即可得證。(3)根據(jù)題意作出輔助線由垂直關(guān)系可得出∠POD為二面角P-AC-D的平面角,在Rt△PDO中利用邊的關(guān)系求出正切值即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,以及對平面與平面垂直的判定的理解,了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:不等式x﹣x2≤a對x≥1恒成立,命題q:關(guān)于x的方程x2﹣ax+1=0在R上有解.
(1)若p為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若“p∧q”為假命題,“p∨q”為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=3sin(x﹣)
(1)用五點(diǎn)法做出函數(shù)一個周期的圖象;
(2)說明此函數(shù)是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎么樣的變化得到的?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,ABCD﹣A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M、N分別是下底面的棱A1B1 , B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP= ,過P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線m與平面α相交但不垂直,則下列說法中,正確的是 ( )
A.在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直
B.過直線m有且只有一個平面與平面α垂直
C.與直線m垂直的直線不可能與平面α平行
D.與直線m平行的平面不可能與平面α垂直
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E、F分別是BC、CC1的中點(diǎn).
(1)證明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°,求三棱錐F-AEC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD= .
(Ⅰ)求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求四棱錐P﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}為單調(diào)遞減的等差數(shù)列,a1+a2+a3=21,且a1﹣1,a2﹣3,a3﹣3成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)n和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,PA=3,AD=6,PA⊥底面ABCD,E是PD上的動點(diǎn).若CE∥平面PAB,則三棱錐C﹣ABE的體積為( )
A.
B.
C.
D.
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