Question

已知α為銳角，向量=（sinα，cosα），=（cos2α，sin2α），且
（1）求α的值．
（2）若，求向量與的夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合向量、互相垂直，得=sin3α=0，結(jié)合α為銳角，得3α=π，可得α=；
（2）由向量模的公式，可得向量、的模均為1，可得=（2+2）（2+2）=8，再計(jì)算出向量與的模都等于4，結(jié)合兩個(gè)向量的夾角公式即可算出與的夾角的余弦值．
解答：解：（1）∵，=（sinα，cosα），=（cos2α，sin2α），
∴=sinαcos2α+cosαsin2α=0，即sin3α=0
∵α為銳角，得3α∈（0，）
∴3α=π，可得α=
（2）∵α=，得=（sinα，cosα）=（，），=（cos2α，sin2α）=（-，），
∴||=||=1，且=0
因此，=（2+2）（2+2）
=4+16+4=8
而且||==4，||==4
設(shè)向量與的夾角為θ，可得cosθ===
即向量與的夾角的余弦值為．
點(diǎn)評：本題給出兩個(gè)向量含有三角函數(shù)的坐標(biāo)形式，求它們的線性組合向量的夾角余弦之值，著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、兩角和的正弦函數(shù)公式和向量夾角公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．