Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（cosx，

3

cosx），

n

=（2cosx，2sinx）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，f（A）=2，a=

3

，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）把向量的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）整理求得函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其增區(qū)間．
（2）根據(jù)f（A）的值求得A，然后利用余弦定理求得bc的值，最后用三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（1）∵

m

=(cosx，

3

cosx)，

n

=(2cosx，2sinx)，
∴f(x)=

m

•

n

=2cos2x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2(sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

)+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵當(dāng)-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ時(shí)，
即kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)．
（2）由（1）得f(A)=2sin(2A+

π

6

)+1=2，
即sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即3=9-2bc-bc，bc=2，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．