Question

11．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow b$|=1，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$的夾角為120°，則|$\overrightarrow a$|的取值范圍是（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，得出$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，利用正弦定理求出|$\overrightarrow{a}$|，得出|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，
如圖所示：
則由$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，
又∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，
∴∠ABC=60°，
又由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow$|=1，
由正弦定理$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow|}{sin60°}$；
得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．
故答案為：（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

點(diǎn)評 本題主考查了向量的減法運(yùn)算的三角形法則，考查了三角形的正弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．