Question

（2014•江門模擬）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y2=

1

2

x與函數(shù)y=lnx圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：顯然，拋物線y2=

1

2

x與函數(shù)y=lnx圖象在第四象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，其它交點(diǎn)只能在第一象限內(nèi)．令f（x）=

2

2

•

x

-lnx （x＞0），利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，可得拋物線y2=

1

2

x與函數(shù)y=lnx圖象在第一象限內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，綜合可得結(jié)論．

解答：解：顯然，拋物線y2=

1

2

x與函數(shù)y=lnx圖象在
第四象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)．
其它交點(diǎn)只能在第一象限內(nèi)，在第一象限內(nèi)，
拋物線方程為y=

2

2

x．
令f（x）=

2

2

•

x

-lnx （x＞0），
則f′（x）=

2

4

•

1

x

-

1

x

=

2x -4

4x

，
令f′（x）=0，求得x=8．
在（0，8）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在（8，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故f（8）為函數(shù)f（x）的極小值，且f（8）=2-ln8＜0．
再根據(jù)f（1）＞0，且當(dāng)x足夠大時(shí)，f（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)，
即拋物線y2=

1

2

x與函數(shù)y=lnx圖象在第一象限內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)（如圖所示）．
綜上可得，拋物線y2=

1

2

x與函數(shù)y=lnx圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
故答案為 3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．