Question

12．已知函數(shù)y=3sin（2x+$\frac{π}{4}）-2$-2．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期，對稱軸及對稱中心；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦型函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)，即可求出最小正周期和對稱軸、對稱中心；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，即可得出f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性．

解答 解：函數(shù)y=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）-2；
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸是x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得x=-$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的對稱中心是（-$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，-2）；
（Ⅱ）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z；
同理函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性是：
單調(diào)增區(qū)間為[0，$\frac{π}{8}$]和[$\frac{5π}{8}$，π]，單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]．

點評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．