正三棱錐有一個半徑為R的內(nèi)切球，求所有這樣的正三棱錐中的體積最小的正三棱錐的體積．

答案：
解析：

如圖，解：設(shè)正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h，PH^底面ABC，PH=h，內(nèi)切球球心為O，則OÎPH，連結(jié)AH并延長交BC于D，連PD，∵ H是正DABC的中心，∴ AH^BC，PD^BC，D是BC的中點(diǎn)，在對稱面PAD中，內(nèi)切球截面O切于AD于H，切PD于E，連DO，則OD平分ÐHDE，HO=EO=R，HD=a，設(shè)ÐADP=2a，ÐODH=ÐODE=a，在RtDOHD中，HD=OH×cota，

∴ a=2Rcota，在RtDPHD中，PH=h=HD×tan2a．∴ h=Rcota×tan2a．

    ∴ V=

   

    ∴ tan2a×(1-tan2a)£．∴ V³8R3．當(dāng)且僅當(dāng)tana=時V=8R3．


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在半徑為3的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點(diǎn)恰好同在一個大圓上，一個動點(diǎn)從三棱錐的一個頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動，經(jīng)過其余三點(diǎn)后返回，則經(jīng)過的最短路程為（　　）
A、12πB、14πC、5πD、7π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

半徑為
3
的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱錐P-ABC，過球心O及一側(cè)棱PA作截面截三棱錐及球面，所得截面如右圖所示，則此三棱錐的側(cè)面積為
9
4
15
9
4
15
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在半徑為r的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點(diǎn)恰好都在同一個大圓上，一個動點(diǎn)從三棱錐的一個頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動，經(jīng)過其余三點(diǎn)后返回，則經(jīng)過的最短路程是（　�。�

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正三棱錐有一個半徑為R的內(nèi)切球，求所有這樣的正三棱錐中的體積最小的正三棱錐的體積．

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