Question

圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點(diǎn)P（
x，y）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)E（x_E，0）和點(diǎn)F（x_F，0）．
（Ⅰ）試用x，y，m，n的代數(shù)式分別表示x_E和x_F；
（Ⅱ）已知“若點(diǎn)P（x，y）是圓C：x²+y²=R²上的任意一點(diǎn)，MN是垂直于x軸的垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E（x_E，0）和點(diǎn)F（x_F，0），則”．類比這一結(jié)論，我們猜想：“若曲線C的方程為（如圖），則x_E•x_F也是與點(diǎn)M、N、P位置無關(guān)的定值”，請你對該猜想給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出直線l_MP 方程，令y=0，可得x_E，同理求出直線l_NP 方程，令y=0，求得x_F；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，利用M，P 在橢圓C上，計(jì)算出x_E•x_F的值，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：因?yàn)镸N是垂直于x軸的一條垂軸弦，所以N（m，-n），
則l_MP：y-n=                                      …（2分）
令y=0，則                                      …（4分）
同理可得：，…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知：=，…（8分）
∵M(jìn)，P在橢圓C：上，
∴n²=b²，=b²，…．（10分）
∴x_E•x_F===a²（定值）．
∴x_E•x_F是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．…（15分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．