Question

已知圓內接四邊形ABCD的邊AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（Ⅰ）求角C的大小和BD的長；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積及外接圓半徑．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：（Ⅰ）連結BD，由于A+C=180°，則cosA=-cosC，在△BCD中，和在△ABD中分別應用余弦定理即可求得BD和角C；
（Ⅱ）由于A+C=180°，則sinA=sinC，由四邊形ABCD的面積為S_△ABD+S_△BCD，應用面積公式，即可得到面積，再由正弦定理，得到比值為外接圓的直徑，即可得到半徑．

解答： 解：（Ⅰ）連結BD，由于A+C=180°，則cosA=-cosC，
由題設及余弦定理得，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=13-12cosC，…①
在△ABD中，BD²=AB²+DA²-2AB•DAcosA=5+4cosC，…②
由①②得cosC=

1

2

，故C=60°，
則BD=

7

．
（Ⅱ）由于A+C=180°，則sinA=sinC，
由（Ⅰ）的結果及題設，可知四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△BCD=

1

2

AB•DAsinA+

1

2

BC•CDsinC
=

1

2

(1×2+2×3)×

3

2

=2

3

．                 
由正弦定理，可得四邊形ABCD的外接圓的半徑R=

BD

2sin60°

=

21

3

．

點評：本題考查余弦定理以及應用，三角形的面積公式及正弦定理中的比值為外接圓的直徑，考查運算能力，屬于中檔題．