Question

已知函數(shù)f（x）=-a^2x-2a^x+1（a＞1）
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]時，函數(shù)f（x）的最小值為-7，求a的值．

Answer 1

解：（1）令t=a^x＞0，∴f（x）=g（t）=-t²-2t+1=-（t+1）²+2
∵t＞0，∴函數(shù)在（0，+∞）上單調減
∴g（t）＜1
∴函數(shù)f（x）的值域為（-∞，1）
（2）∵a＞1，∴x∈[-2，1]時，t=a^x∈[a^-2，a]，
∵f（x）=g（t）=-t²-2t+1=-（t+1）²+2
∴函數(shù)f（x）在[a^-2，a]上單調減
∴x=a時，函數(shù)f（x）取得最小值
∵x∈[-2，1]時，函數(shù)f（x）的最小值為-7，
∴-（a+1）²+2=-7
∴（a+1）²=9
∴a=2或-4（舍去）
所以a=2．
分析：（1）利用換元法，將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，利用函數(shù)的單調性，我們可以求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）利用換元法，將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，取得函數(shù)的單調性，得到x=a時，函數(shù)f（x）取得最小值．利用條件，就可以求a的值．
點評：通過換元，轉化為二次函數(shù)，再研究函數(shù)的最值，這是我們處理這類問題常用的方法，應注意換元后，參數(shù)的范圍．