Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果對(duì)任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂判斷下列三個(gè)代數(shù)式：①x₁+x₂+a，②

x

2 1

+

x

2 2

+a2，③

x

3 1

+

x

3 2

+a3
中有幾個(gè)為定值？并且是定值請(qǐng)求出；若不是定值，請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求出g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）表達(dá)式，求出其導(dǎo)數(shù)f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a，因此將不等式f′（x）＞a²化簡(jiǎn)成（x-3）（x+a）＞0，對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，從而得到x+a＜0對(duì)x∈[1，2]恒成立，由此即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）根據(jù)題意，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式，可得x₁+x₂+a=3為定值，且

x

2 1

+

x

2 2

+a2=9也為定值．而化簡(jiǎn)

x

3 1

+

x

3 2

+a3=3a³-9a²+27可得它不是定值，從而得到g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3），利用導(dǎo)數(shù)研究g（a）在區(qū)間（-1，3）上的單調(diào)性，并結(jié)合函數(shù)值的大小比較，即可得到出g（a）的最小值．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a．
得f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a，對(duì)任意x∈[1，2]，f'（x）＞a²恒成立，
即x²+（a-3）x-3a＞0，（x-3）（x+a）＞0對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，
又x-3＜0恒成立，所以x+a＜0對(duì)x∈[1，2]恒成立，所以a＜-x恒成立，
所以a＜-2．…（4分）
（II）依題意知x₁，x₂恰為方程f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a=0的兩根，
所以

(a-3)2-4(a2-3a)＞0 x1+x2=3-a x1x2=a2-3a

解得-1＜a＜3…（5分）
所以①x₁+x₂+a=3為定值，…（6分）
②

x

2 1

+

x

2 2

+a2=(x1+x2)2-2x1x2+a2=9為定值，…（7分）
③

x

3 1

+

x

3 2

+a3=(x1+x2)(

x

2 1

-x1x2+

x

2 2

)+a3=3a3-9a2+27不是定值
即g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3），可得g'（a）=9a²-18a，
當(dāng)a∈[-1，0]時(shí)，g'（a）＞0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[-1，0]是增函數(shù)，
當(dāng)a∈[0，2]時(shí)，g'（a）＜0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[-1，0]是減函數(shù)，
當(dāng)a∈[2，3]時(shí)，g'（a）＞0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[2，3]是增函數(shù)，
因此，g（a）在（-1，3）上的最小值是g（-1）與g（2）中較小的一個(gè)，
又∵g（-1）=15；g（2）=15
∴g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3）的最小值為15（a=2時(shí)取到）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三次多項(xiàng)函數(shù)，在不等式恒成立的情況下求實(shí)數(shù)a的取值范圍并討論了函數(shù)的極值問(wèn)題．著重考查了三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識(shí)，屬于中檔題．