Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，點(diǎn)M在邊DC上，點(diǎn)F在邊AB上，且DF⊥AM，垂足為E，若將△ADM沿AM折起，使點(diǎn)D位于D′位置，連接D′B，D′C得四棱錐D′﹣ABCM．

（1）求證：AM⊥D′F；
（2）若∠D′EF= ，直線D'F與平面ABCM所成角的大小為 ，求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AM⊥D′E，AM⊥EF，D′E∩⊥EF=E，

∴AM⊥面D′EF

∵D′F面D′EF，

∴AM⊥D′F；

（2）解：由（1）知，AM⊥面D′EF，AM平面ABCM，

∴平面ABCM⊥面D′EF，

∴過(guò)D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，

∴∠D′FH也就是∠D′FE是直線D'F與平面ABCM所成角，由已知，∠D′FE= ，

并且∠D′AH是所求的直線AD′與平面ABCM所成角．

∵∠D′EF= ，且∠D′FE=

在三角形△D′EF中，∵∠D′EF= ，且∠D′FE=

所以是等邊三角形，∴D′E=EF，即DE=EF，∴△DAF是等腰三角形．

設(shè)AD=2，∴AF=2，EF= ，四棱錐D′﹣ABCM的高D′H=

由于直線AD′與平面ABCM所成角為∠D′AH，∴sin∠D′AH= =

【解析】（1）根據(jù)圖形折疊前后的關(guān)系，易證AM⊥面D′EF，得出AM⊥D′F．（2）由（1）知，AM⊥面D′EF，所以平面ABCM⊥面D′EF，過(guò)D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，，∠D′FH是直線D'F與平面ABCM所成角，∠D′AH是直線AD′與平面ABCM所成角在直角三角形D′AH求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．