【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.
(Ⅰ)求證:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求證:AF⊥平面PCD.
【答案】解:(Ⅰ)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,
所以AB∥CD.
又因?yàn)锳B平面PCD,CD平面PCD,
所以AB∥平面PCD.
又因?yàn)锳,B,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,
所以AB∥EF.
(Ⅱ)證明:在正方形ABCD中,CD⊥AD.
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
又AF平面PAD
所以CD⊥AF.
由(Ⅰ)可知AB∥EF,
又因?yàn)锳B∥CD,所以CD∥EF.由點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn),所以點(diǎn)F是棱PD中點(diǎn).
在△PAD中,因?yàn)镻A=AD,所以AF⊥PD.
又因?yàn)镻D∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.
【解析】(Ⅰ)證明:AB∥平面PCD,即可證明AB∥EF;(Ⅱ)利用平面PAD⊥平面ABCD,證明CD⊥AF,PA=AD,所以AF⊥PD,即可證明AF⊥平面PCD;
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在圓心角為90°的扇形AOB中,以圓心O作為起點(diǎn)作射線OC,OD,則使∠AOC+∠BOD<45°的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(1,2), =(﹣2,m), = +(t2+1) , =﹣k + ,m∈R,k、t為正實(shí)數(shù).
(1)若 ∥ ,求m的值;
(2)若 ⊥ ,求m的值;
(3)當(dāng)m=1時(shí),若 ⊥ ,求k的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
是否需要志愿 性別 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: =1(a>1)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,P是橢圓C上任一點(diǎn),且點(diǎn)P位于第一象限.直線PA交y軸于點(diǎn)Q,直線PB交y軸于點(diǎn)R.當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,1)時(shí),點(diǎn)R坐標(biāo)為(0,2)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證: 為定值;
(3)求證:過點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察以下各等式:
tan 30°+tan 30°+tan 120°=tan 30°·tan 30°·tan 120°,
tan 60°+tan 60°+tan 60°=tan 60°·tan 60°·tan 60°,
tan 30°+tan 45°+tan 105°=tan 30°·tan 45°·tan 105°.
分析上述各式的共同特點(diǎn),猜想出表示的一般規(guī)律,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得=80, =20, =184, =720.
(Ⅰ)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y=bx+a;
(Ⅱ)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(Ⅲ)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:(x﹣1)2+y2=2,圓C2:(x﹣m)2+(y+m)2=m2 . 圓C2上存在點(diǎn)P滿足:過點(diǎn)P向圓C1作兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,△ABP的面積為1,則正數(shù)m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),(其中a>0,且a≠1).
(1)請(qǐng)你推測(cè)g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)來表示;
(2)如果(1)中獲得了一個(gè)結(jié)論,請(qǐng)你推測(cè)能否將其推廣.
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