Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓，（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF₁|+|PF₂|=8，．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求出以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF₁|+|PF₂|=8，
∴2a=8，可得a=4
又∵焦距2c=，∴c=2，可得b²=a²-c²=4
因此，橢圓E的方程是：；
（2）根據(jù)題意，以M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的斜率是存在的
設(shè)以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦方程為y-1=k（x-1），與橢圓聯(lián)解消去y，
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4k²-8k-12=0，
設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=
∵M(jìn)（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，
∴（x₁+x₂）=1，可得=2，解之得k=-
因此，以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程為y-1=-（x-1），
化簡(jiǎn)整理得x+4y-5=0，即為所求直線(xiàn)方程．
分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，可得2a=|PF₁|+|PF₂|=8，從而得到a=4．再根據(jù)焦距得到c=，利用平方關(guān)系算出b²的值，即可得到橢圓E的方程；
（2）設(shè)以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦方程為y-1=k（x-1），與橢圓E方程消去y，得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4k²-8k-12=0，
再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列式，即可解出斜率k=-，進(jìn)而可以得到以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓E的特征，求橢圓E方程并求以M為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、橢圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．