Question

已知函數(shù)在x=1處取到極值2
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=ax-lnx．若對任意的，總存在唯一的，使得g（x₂）=f（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，函數(shù)，易求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，再由函數(shù)在x=1處取到極值2，其導(dǎo)函數(shù)在x=1處等0，易構(gòu)造一個關(guān)于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）我們可以求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而可分別出函數(shù)f（X）的單調(diào)性，由此易判斷f（x）在區(qū)間[，2]上的值域，由對任意的，總存在唯一的，使得g（x₂）=f（x₁），及函數(shù)g（x）=ax-lnx．我們分別對a值與e及e²的關(guān)系進(jìn)行分類討論，即可得到滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）==
f（x）在x=1處取到極值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，
解得m=4，n=1，經(jīng)檢驗(yàn)，此時f（x）在x=1處取得極值．故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，由，故f（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222526220047520/SYS201311012225262200475020_DA/11.png">
依題意，記，∵x∈M∴
（�。┊�(dāng)a≤e時，g'（x）≤0，g（x），依題意由得，
故此時
（ⅱ）當(dāng)e＜a≤e²時，＞＞當(dāng)時，g′（x）＜0，當(dāng)時，g′（x）＞0．依題意由，得，即．與a＞e矛盾
（ⅲ）當(dāng)a＞e²時，＜，此時g′（x）＞0，g（x）．依題意得 即此不等式組無解綜上，所求a取值范圍為0≤a≤e
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)解析式的求解及常用方法，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于m的方程，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的解析式是解答的關(guān)鍵．