Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且點(diǎn)（1，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）在橢圓上，經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作斜率為k（k≠0）的直線(xiàn)l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，OM∥l，并且OM交橢圓C于點(diǎn)M．
（i）是否存在點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ii）求$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率和點(diǎn)（1，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）在橢圓上，結(jié)合隱含條件列式求得a，b的值，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（2）（i）直線(xiàn)l的方程為y=k（x+3），與橢圓聯(lián)立，得（1+9k²）x²+54k²x+81k²-9=0，由此利用韋達(dá)定理、直線(xiàn)垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果；
（ii）OM的方程可設(shè)為y=kx，與橢圓聯(lián)立得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=±$\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，由OM∥l，把$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系求得答案．

解答 解：（1）由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{8}{9^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：a²=9，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）（i）直線(xiàn)l的方程為y=k（x+3），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+3）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+9k²）x²+54k²x+81k²-9=0，
∴x₁=-3，${x}_{2}=\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$．
當(dāng)x=$\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$時(shí)，y=k（$\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$+3）=$\frac{6k}{1+9{k}^{2}}$，
∴D（$\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$，$\frac{6k}{1+9{k}^{2}}$）．
∵點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，∴P的坐標(biāo)為（$\frac{-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}，\frac{3k}{1+9{k}^{2}}$），
則${k}_{OP}=-\frac{1}{9k}$（k≠0）．
直線(xiàn)l的方程為y=k（x+3），令x=0，得E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3k），
假設(shè)存在定點(diǎn)Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，
則k_OPk_EQ=-1，即-$\frac{1}{9k}$•$\frac{n-3k}{m}$=-1恒成立，
∴（9m+3）k-n=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9m+3=0}\\{-n=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$，0）．
（ii）∵OM∥l，∴OM的方程可設(shè)為y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=±$\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，
由OM∥l，得$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$=$\frac{|{x}_{D}-{x}_{A}|+|{x}_{E}-{x}_{A}|}{|{x}_{M}|}$
=$\frac{{x}_{D}-2{x}_{A}}{|{x}_{M}|}$=$\frac{\frac{3-27{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}+6}{\frac{3}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}}$=$\frac{3+9{k}^{2}}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+9{k}^{2}}+\frac{2}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$$≥2\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{1+9{k}^{2}}=\frac{2}{\sqrt{1+9{k}^{2}}}$，即k=±$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)，
k=-$\frac{1}{3}$（舍去）．
∴當(dāng)k=$\frac{1}{3}$時(shí)，$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值為$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查代數(shù)式的最小值的求法，注意韋達(dá)定理、直線(xiàn)垂直、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．