已知函數(shù).
(Ⅰ)若無極值點(diǎn),但其導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)若有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明的極小值小于.
(Ⅰ) (Ⅱ),利用單調(diào)性證明
解析試題分析:(Ⅰ)首先, ,有零點(diǎn)而無極值點(diǎn),表明該零點(diǎn)左右同號,故,且的由此可得
(Ⅱ)由題意,有兩不同的正根,故.
解得: ,設(shè)的兩根為,不妨設(shè),因?yàn)樵趨^(qū)間上,,而在區(qū)間上,,故是的極小值點(diǎn).因在區(qū)間上是減函數(shù),如能證明則更有由韋達(dá)定理,,
令其中設(shè) ,利用導(dǎo)數(shù)容易證明當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減,而,因此,即的極小值
(Ⅱ)另證:實(shí)際上,我們可以用反代的方式證明的極值均小于.
由于兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)正根,所以反過來,
(用表示的關(guān)系式與此相同),這樣
即,再證明該式小于是容易的(注意,下略).
考點(diǎn):本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評:對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問題的命制,一般以有理函數(shù)與半超越(指數(shù)、對數(shù))函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體,解題時(shí)要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽,這類問題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識,注重?cái)?shù)學(xué)思想的運(yùn)用
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
題文已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若不等式對一切恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)其中
(1)若=0,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)表示與兩個(gè)數(shù)中的最大值,求證:當(dāng)0≤x≤1時(shí),||≤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),且。
(1)若函數(shù)在處的切線與軸垂直,求的極值。
(2)若函數(shù)在,求實(shí)數(shù)a的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),且在和處取得極值.
(1)求函數(shù)的解析式.
(2)設(shè)函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn),若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
文科設(shè)函數(shù)。(Ⅰ)若函數(shù)在處與直線相切,①求實(shí)數(shù),b的值;②求函數(shù)上的最大值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若不等式對所有的都成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1) 求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得對任意的,當(dāng)時(shí)恒有成立.若存在,求的范圍,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;
(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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