已知等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,且a2011,a2013,a2012成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求公比q的值;
(Ⅱ)設{bn}是以2為首項,q為公差的等差數(shù)列,其前n項和為Sn,當n≥2時,比較Sn與bn的大小,并說明理由.
分析:(Ⅰ)由數(shù)列{an}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,結(jié)合a2011,a2013,a2012成等差數(shù)列,直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)列式進行計算;
(Ⅱ)求出等差數(shù)列{bn}的前n項和,由Sn與bn作差得到Sn-1,代入前n-1項和的表達式后因式分解,然后分類討論比較
Sn與bn的大。
解答:解答:(Ⅰ)由數(shù)列{an}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,且a2011,a2013,a2012成等差數(shù)列,
所以2a2013=a2011+a2012,即2a2011q2=a2011+a2011q
∵a2011≠0,∴2q2-q-1=0.
∴q=1或q=-
1
2
,
又q≠1,∴q=-
1
2

(Ⅱ)數(shù)列{bn}是以2為首項,q為公差的等差數(shù)列,
公差q=-
1
2
,則Sn=2n+
n(n-1)
2
•(-
1
2
)
=
-n2+9n
4

當n≥2時,Sn-bn=Sn-1=
-(n-1)2+9(n-1)
4

=
-n2+11n-10
4
=-
(n-1)(n-10)
4

故對于n∈N*,當2≤n≤9時,Sn>bn;
當n=10時,Sn=bn
當n≥11時,Sn<bn
點評:本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差數(shù)列的前n項和,訓練了作差法比較兩個數(shù)的大小,利用了分類討論的數(shù)學思想方法,是中檔題.
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