Question

如圖：已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，O₁、O分別是上、下底面的中心，A₁O⊥平面ABCD．
（1）求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E在棱AA1上，且AE=2EA₁，問在棱BC上是否存在點(diǎn)F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先證明A₁O∥CO₁，再利用A₁O⊥平面ABCD?O₁C⊥平面ABCD?平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）由AE=2EA₁，猜想F為BC的三等分點(diǎn)B（靠近B）時，有EF⊥BC，再利用EH⊥平面ABCD證得BC⊥EH．又可得HF∥AB?HF⊥BC，就可推得結(jié)論．

解答：證明：（1）連接AC、BD、A₁C₁則AC、BD的交點(diǎn)，O₁為A₁C₁中點(diǎn)
∴四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，
∴四邊形A₁O₁CO為平行四邊形（2分）
∴A₁O∥CO₁
∵A₁O⊥平面ABCD
∴O₁C⊥平面ABCD（4分）
∵O₁C?平面O₁DC
∴平面O₁DC⊥平面ABCD（5分）
（2）F為BC的三等分點(diǎn)B（靠近B）時，有EF⊥BC（6分）
過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，連FH、EF
∵平面A₁AO⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD
又BC?平面ABCD∴BC⊥EH①
∵

AE

AA1

=

2

3

EH∥A1O
∴

AH

AC

=

1

3

，又∵

BF

BC

=

1

3

∴HF∥AB∴HF⊥BC，②
由①②知，BC⊥平面EFH，
∵EF?平面EFH，
∴EF⊥BC（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)以及探究點(diǎn)的位置問題．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直