Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中點(diǎn)，且PA=BC=

1

2

AD．
（1）求證：CE∥平面PAB
（2）求證：CD⊥平面PAC
（3）若PA=1，求三棱錐C-PAD的體積．

Answer 1

分析：（1）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，證明EF

∥

.

BC，說(shuō)明四邊形EFBC是平行四邊形，利用CE∥FB，證明CE∥平面PAB．
（2）設(shè)PA=1．求出AD=2．推出PB與面ABCD所成的角為∠PBA=45°．然后證明CD⊥面PAC．
（3）若PA=1，求三棱錐C-PAD的體積．

解答：解：（1）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，=∵PF=FA，PE=ED，∴EF∥

1

2

AD
∴EF

∥

.

BC，
∴四邊形EFBC是平行四邊形∴CE∥FB
∵CE?平面PAB，F(xiàn)B?平面PAB
∴CE∥平面PAB
（2）設(shè)PA=1．由題意 PA=BC=1，AD=2．                   …（2分）
∵PA⊥面ABCD，∴PB與面ABCD所成的角為∠PBA=45°．
∴AB=1，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得 AC⊥CD．                    …（3分）
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，…（5分）
（3）由（2）可知，PA⊥面ABCD，∴三棱錐C-PAD的體積就是P-ACD的體積，
PA=1．由題意 PA=BC=1，AD=2，
PB與面ABCD所成的角為∠PBA=45°．
∴AB=1
S_△ACD=

1

2

×AD×AB=1，
V_C-PAD=

1

3

×1×1=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直的判定與證明，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力．