Question

15．（1）若函數(shù)f（x）=4x³-ax+3的單調(diào)遞減區(qū)間是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，則實(shí)數(shù)a的值是多少？
（2）若函數(shù)f（x）=4x³-ax+3在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為多少？

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0的解集為單調(diào)遞減區(qū)間；得到-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，代入求出a；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=4x³-ax+3在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，所以f′（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]符號(hào)不變，分離變量后利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=12x²-a，
∵f（x）=4x³-ax+3的單調(diào)遞減區(qū)間是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是12x²-a=0的兩個(gè)根，
所以a=3；
（2）由f（x）=4x³-ax+3，所以f′（x）=12x²-a，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=4x³-ax+3在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，
所以以f′（x）=12x²-a在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上符號(hào)不變，
可得-a≥0或12×（$\frac{1}{2}$）2-a≤0恒成立，
解得a≤0或a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．