Question

（2011•樂山一模）△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若

a-c

sinB-sinC

=

b

sinA+sinC

．      
（1）求角A；
（2）若函數(shù)f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)+

1

2

cosx，x∈[A，π]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件結(jié)合正弦定理，余弦定理求出cosA的值，然后求角A；
（2）利用（1）求出函數(shù)f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)+

1

2

cosx，x∈[A，π]，的表達(dá)式，利用二倍角公式以及三角代換，結(jié)合x的范圍，直接求函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）由

a-c

sinB-sinC

=

b

sinA+sinC

，以及正弦定理，
可得

a-c

b-c

=

b

a+c

，
即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理可知cosA=

1

2

，因?yàn)锳是三角形內(nèi)角，所以A=

π

3

．
（2）由（1）可知，f(x)=cos2(x+

π

3

)-sin2(x-

π

3

)+

1

2

cosx，x∈[

π

3

，π]
∴f(x)=cos2(x+

π

3

)-sin2(x-

π

3

)+

1

2

cosx
=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

- 

1-cos(2x- 2π 3 )

2

+

1

2

cosx
=-

1

2

cos2x+

1

2

cosx
=-cos²x+

1

2

cosx+

1

2

=-t²+

1

2

t+

1

2

其中t=cosx，∵x∈[

π

3

，π]，
∴cosx∈[-1，

1

2

]．
當(dāng)t=-1時(shí)，f_小（x）=-1，
當(dāng)t=

1

4

時(shí)，f_大（x）=

9

16

，
∴函數(shù)f（x）的值域[-1，

9

16

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域的求法，考查計(jì)算能力．