Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E 為側棱PD的中點．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）若AD=AB，試求二面角A-PC-D的正切值；
（4）當

AD

AB

為何值時，PB⊥AC？

Answer 1

分析：（1）連DB，設DB∩AC=O，面EAC內的直線OE與面外直線BP平行，即可證明PB∥平面EAC
（2）要證AE⊥平面PCD，可以證明面PDC⊥面PAD，再利用面面垂直的性質定理，證明AE⊥平面PCD．
（3）在PC上取點M使得PM=

1

4

PC．證出∠AME為二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEM中解即可．
（4）設N為AD中點，連接PN，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設AD=1，AB=x列方程并解即可．

解答：解：（1）證明：連DB，設DB∩AC=O，則在矩形ABCD中，O為BD中點．
連EO．因為E為DP中點，所以，OE∥BP．
又因為OE?平面EAC，PB?平面EAC，
所以，PB∥平面EAC．
（2）

矩形ABCD?CD⊥AD 面PAD∩面ABCD=AD 面ABCD⊥面PAD

?CD⊥面PAD CD?面PDC

?面PDC⊥面PAD
正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，AE⊥PD，
又面PDC∩面PAD=PD，所以，AE⊥平面PCD．
（3）在PC上取點M使得PM=

1

4

PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
連接AM，因為AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．
所以，∠AME為二面角A-PC-D的平面角．
在Rt△AEM中，tan∠AME=

AE

ME

=

3 2

1 2 × 2 2

=

6

．
即二面角A-PC-D的正切值為

6

．
（4）設N為AD中點，連接PN，則PN⊥AD．
又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．
所以，NB為PB在面ABCD上的射影．
要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC
在矩形ABCD中，設AD=1，AB=x
則(

1

2

)2=(

1

3

×

1 4 +x2

)2+(

1

3

×

1+x2

)2，
解之得：x=

2

2

．
所以，當

AD

AB

=

2

時，PB⊥AC．

點評：本題考查線面位置關系、線線位置關系、線面角的度量，考查分析解決問題、空間想象、轉化、計算的能力與方程思想．