Question

（2012•眉山一模）眉山市位于四川西南，有“千載詩(shī)書(shū)城，人文第一州”的美譽(yù)，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉(xiāng)，也是人們旅游的好地方．在今年的國(guó)慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化“知識(shí)競(jìng)賽．已知甲、乙兩隊(duì)參賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏(yíng)得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為

2

3

，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．
（I）分別求“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”和“甲隊(duì)得3分乙隊(duì)得0分”的概率；
（II）用ξ表示甲隊(duì)的總得分，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分為事件A，記甲隊(duì)得3分乙隊(duì)得0分為事件B；分別由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式計(jì)算甲隊(duì)得2分的概率P₁、乙隊(duì)的1分的概率P₂、甲隊(duì)得3分的概率P₃、乙隊(duì)的0分的概率P₄，進(jìn)而由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）由題意，ξ可取的值為0、1、2、3，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式計(jì)算P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=3）、P（ξ=4），進(jìn)而可得ξ的分步列，進(jìn)而由期望公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分為事件A，記甲隊(duì)得3分乙隊(duì)得0分為事件B；
甲隊(duì)得2分的概率P₁=C₃²×（

2

3

）²×（1-

2

3

）=

4

9

，
乙隊(duì)的1分的概率P₂=

2

3

×（1-

2

3

）×（1-

1

2

）+（1-

2

3

）×

2

3

×（1-

1

2

）+（1-

2

3

）×（1-

2

3

）×

1

2

=

5

18

，
則P（A）=

4

9

×

5

18

=

10

81

；
甲隊(duì)得3分的概率P₃=C₃³×（

2

3

）³=

8

27

，
乙隊(duì)的0分的概率P₄=（1-

2

3

）×（1-

2

3

）×（1-

1

2

）=

1

18

，
則P（B）=

8

27

×

1

18

=

4

243

；
（Ⅱ）由題意，ξ可取的值為0、1、2、3，
ξ=0，即甲隊(duì)得0分，3人都回答錯(cuò)誤，P(ξ=0)=

C

0 3

×(1-

2

3

)3=

1

27

，
ξ=1，即甲隊(duì)得1分，3人中只有1人回答正確，P(ξ=1)=

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

2

9

，
ξ=2，即甲隊(duì)得2分，3人中只有2人回答正確，P(ξ=2)=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)=

4

9

，
ξ=3，即甲隊(duì)得3分，3人都回答正確，P(ξ=3)=

C

3 3

×(

2

3

)3=

8

27

．
所以ξ的分布列為

ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立重復(fù)事件的概率計(jì)算，離散變量的分步列、期望的計(jì)算，解題時(shí)要明確事件之間的關(guān)系并準(zhǔn)確計(jì)算．