Question

如圖，我們知道，圓環(huán)也可看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S=π（R²-r²）=（R-r）×2π×

R+r

2

．所以，圓環(huán)的面積等于是以線段AB=R-r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×

R+r

2

為長的矩形面積．請將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是

 

．（結(jié)果用d，r表示）

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）,歸納推理

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)已知中圓環(huán)的面積等于是以線段AB=R-r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×

R+r

2

為長的矩形面積．拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓（x-d）²+y²=r²為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長2π×d為高的圓柱的體積．代入可得答案．

解答： 解：由已知中圓環(huán)的面積等于是以線段AB=R-r為寬，
以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×

R+r

2

為長的矩形面積．
拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，
則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：
以圓（x-d）²+y²=r²為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長2π×d為高的圓柱的體積．
故V=πr²•2πd=2π²r²d，
故答案為：2π²r²d．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是圓柱的體積，類比推理，其中得到拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓（x-d）²+y²=r²為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長2π×d為高的圓柱的體積．是解答的關(guān)鍵．