已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的x1,x2都滿足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),
當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)是否存在這樣的實(shí)數(shù)m,當(dāng)θ∈[0,
π2
]時(shí)
,使不等式f[cos2θ-(2+m)sinθ]+f(3+2m)>0對(duì)所有θ恒成立,若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問(wèn)題.在解答時(shí),首先要結(jié)合定義域和所給區(qū)間任設(shè)兩個(gè)變量并保證大小關(guān)系,然后通過(guò)f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2)即可獲得相應(yīng)變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可獲得問(wèn)題的解答.
(2)賦值求出f(0)=0,再令x1=-x,x2=x,有f(-x+x)=f(-x)+f(x)構(gòu)造出f(-x)與f(x)的方程研究其間的關(guān)系,得出奇偶性,解答本題時(shí)注意做題格式,先判斷后證明.
(3)此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題.在解答時(shí),先結(jié)合存在性問(wèn)題的特點(diǎn)先假設(shè)存在m符合題意,然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)即可獲得問(wèn)題的解答.
解答:解:(1)設(shè)x1<x2則x1-x2<0,
f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2
∴f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù)
(2)令x1=x2=0有f(0)=0
∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù)
(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,由條件得f[cos2θ-(2+m)sinθ+3+2m]>f(0)?cos2θ-(2+m)sinθ+3+2m>0
令t=sinθt∈[0,1]有-t2-(2+m)t+4+2m>0在[0,1]上恒成立
令g(t)=-t2-(2+m)t+4+2m則有
g(0)>0
g(1)>0
?m>-1
點(diǎn)評(píng):本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問(wèn)題.抽象函數(shù)的奇偶性的判定,以及賦值法的應(yīng)用,屬于中檔題,在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法以及賦值法等知識(shí).值得同學(xué)們體會(huì)和反思.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列說(shuō)法正確的有( 。﹤(gè).
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對(duì)任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線存在.
③因?yàn)?>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對(duì)求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值,則AB的值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點(diǎn)P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請(qǐng)給出類(lèi)似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點(diǎn).
(1)求a的取值范圍;
(2)過(guò)曲線y=f(x)外的點(diǎn)P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點(diǎn)分別為A、B.
(ⅰ)證明:a=b;
(ⅱ)請(qǐng)問(wèn)△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案