Question

如圖所示，港口A北偏東30°方向的點C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船，測得BC為31海里．該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達(dá)D處，測得CD為21海里．問此時輪船離港口A還有多少海里？

Answer 1

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，進(jìn)而可求sin∠CDB，由三角形的內(nèi)角和定理可得sin∠ACD=sin(∠CDB-

π

3

)，再在△ACD中，由正弦定理知，

AD

sin∠ACD

=

CD

sin∠A

，可求AD

解答：解：由題意可得，BC=31，BD=20，CD=21，A=60°
在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC=

BD2+CD2-BC2

2×BD×CD

=

202+212-312

2×21×20

=-

1

7

，
故sin∠BDC=

1-cos2∠BDC

=

4 3

7

，
從而sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=

4 3

7

×

1

2

-(-

1

7

)×

3

2

=

5 3

14

．
在△ACD中，由正弦定理得   

AD

sin∠ACD

=

CD

sin60°

，
于是AD=

CD×sin∠ACD

sin60°

=15（海里），
即此時輪船距離港口A還有 15海里．

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內(nèi)角和定理在實際中的應(yīng)用，解決實際的問題的關(guān)鍵是要把題目中所提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)圖形中的長度（角度），然后根據(jù)相應(yīng)的公式來解決問題．