Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=1-，其中n∈N^*．
（Ⅰ）設(shè)b_n=，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)C_n=，數(shù)列{C_nC_n+2}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得T_n＜對于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵b_n+1-b_n==
==2，
∴數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，
又=2，∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
∴2n=，解得．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，
∴c_nc_n+2==，
∴數(shù)列{C_nC_n+2}的前n項和為Tn=…+
=2＜3．
要使得T_n＜對于n∈N^*恒成立，只要，即，
解得m≥3或m≤-4，而m＞0，故最小值為3．
分析：（Ⅰ）利用遞推公式即可得出b_n+1-b_n為一個常數(shù)，從而證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得到b_n，進(jìn)而得到a_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，利用“裂項求和”即可得到T_n，要使得T_n＜對于n∈N^*恒成立，只要，即，解出即可．
點(diǎn)評：正確理解遞推公式的含義，熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、等價轉(zhuǎn)化等方法是解題的關(guān)鍵．