Question

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是與的等比中項(xiàng).
（Ⅰ）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是與的等比中項(xiàng)，若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，此題關(guān)鍵是求，要求利用是與的等比中項(xiàng)，得，當(dāng)時，，求得，從而得，再由，得，這樣得數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和，首先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，只需求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由前面可知，可利用來求，求得，得，這是一個等比數(shù)列與一個等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積所組成的數(shù)列，求它的和可用錯為相減法來求．
試題解析：（Ⅰ），即 ，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，即 ，
∵  ∴ ,∴數(shù)列是等差數(shù)列，由得，∴數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，∴ ，∴
（Ⅱ） ，   ∴  ①，
兩邊同乘以得 ②，
①-②得
 ．