Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2×3ⁿ+

2

3n-1

，m、n、p屬于自然數(shù)，且m＜n＜p，問(wèn)：數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p為等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：若存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列，則2a_n=a_m+a_p，代入化簡(jiǎn)可得2×3ⁿ-3^m-3^p=

1

3m-1

+

1

3p-1

+

1

3n-1

，根據(jù)左邊是整數(shù)，右邊是分?jǐn)?shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：若存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列，則2a_n=a_m+a_p，
所以2（2×3ⁿ+

2

3n-1

）=2×3^m+

2

3m-1

+2×3^p+

2

3p-1

，
化簡(jiǎn)得2×3ⁿ-3^m-3^p=

1

3m-1

+

1

3p-1

+

1

3n-1

，
因?yàn)樽筮吺钦麛?shù)，右邊是分?jǐn)?shù)，
故數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的思想、數(shù)學(xué)歸難的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．