Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{cos（πx-π）}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}$（x∈R），給出下面四個命題：
①函數(shù)f（x）的圖象一定關(guān)于某條直線對稱；
②函數(shù)f（x）在R上是周期函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{1}{4}$；
④對任意兩個不相等的實數(shù)${x_1}，{x_2}∈（0，\;\;\frac{3}{2}）$，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞\frac{1}{10}$成立．
其中所有真命題的序號是①③．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，由f（2-x）=f（x）說明①正確；函數(shù)f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸，由函數(shù)解析式可以得出，其圖象周期性穿過X軸，由于分母不斷增大，圖象往兩邊延伸都無限靠近于X軸，說明函數(shù)不是周期函數(shù)，②錯誤；由函數(shù)解析式抽象出函數(shù)圖象的大致形狀，說明③正確，④錯誤．

解答 解：f（x）=$\frac{cos（πx-π）}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}$=$\frac{-cosπx}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}$．
∵f（2-x）=$\frac{-cosπ（2-x）}{{2}^{2-x}+{2}^{x}}=\frac{-cosπx}{{2}^{x}+{2}^{2-x}}=f（x）$，∴函數(shù)f（x）的圖象一定關(guān)于直線x=1對稱，故①正確；
當(dāng)x→+∞時，2^x+2^2-x→+∞，則f（x）→0，∴函數(shù)f（x）在R上不是周期函數(shù)，故②錯誤；
由①知，函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x＞1時，隨著x的增大，其圖象大致形狀如圖：

函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{1}{4}$，故③正確；
由圖可知，在x=1右側(cè)附近，連接曲線上兩點的斜率小于0，故④錯誤．
∴所有真命題的序號是①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了函數(shù)的圖象，由函數(shù)解析式抽象出函數(shù)圖象的大致形狀是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．