Question

設偶函數f（x）在（一∞，0）上是減函數，且f（3）=0，則滿足

f(x)+f(-x)

|x|

＞0的X的取值范圍是（　�。�

A．（-3，0）∪（0，3）

B．（-∞，-3）∪（0，3）

C．（-3，0）∪（3，+∞）

D．（-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：先利用f（x）是偶函數，把

f(x)+f(-x)

|x|

＞0轉化為

2f(x)

|x|

＞0?f（x）＞0，再利用偶函數的圖象特點得其在（0，+∞）上是增函數結合f（3）=0，即可求出f（x）＞0對應的X的取值范圍．

解答：解：因為f（x）是偶函數，故

f(x)+f(-x)

|x|

＞0可以轉化為

2f(x)

|x|

＞0?f（x）＞0．
又因為f（x）在（一∞，0）上是減函數
所以在（0，+∞）上是增函數，又f（3）=0，
故當x＞3時，f（x）＞f（3）=0．
x＜-3時，f（x）＞f（-3）=f（3）=0．
故選  D．

點評：本題主要考查函數單調性與奇偶性的綜合問題．偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反；奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同．