Question

8．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=3，AC⊥BC，點M在線段AB上．
（1）若M是AB中點，證明AC₁∥平面B₁CM；
（2）當BM=$\sqrt{2}$時，求直線C₁A₁與平面B₁MC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結BC₁，交B₁C于E，連結ME，根據(jù)中位線定理得出AC₁∥EM，故而AC₁∥平面B₁CM；
（2）以C為原點建立空間坐標系，求出平面B₁MC的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$的坐標，計算$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$的夾角的余弦值即可得出線面角的正弦值．

解答 解：（1）證明：連結BC₁，交B₁C于E，連結ME．
∵側面B B₁C₁C為矩形，
∴E為BC₁的中點，又M是AB的中點，
∴ME∥AC₁．
又 ME?平面B₁CM，AC₁?平面B₁CM，
∴AC₁∥平面B₁C M．
（2）以C為原點，以CB，CA，CC₁為坐標軸建立空間直角坐標系C-xyz如圖所示：
則B₁（0，3，3），A₁（3，0，3），A（3，0，0），B（0，3，0），C₁（0，0，3），AB=3$\sqrt{2}$，∴BM=$\frac{1}{3}$BA．
∴$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，3，3），$\overrightarrow{CM}$=（1，2，0），$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（3，0，0）．
設平面B₁MC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3y+3z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}|}$=$\frac{6}{\sqrt{6}•3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故當BM=$\sqrt{2}$時，直線C₁A₁與平面B₁MC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，空間向量的應用與線面角的計算，屬于中檔題．