Question

若集合A具有以下性質(zhì)：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，則x-y∈A，且x≠0時，

1

x

∈A．則稱集合A是“好集”．
（Ⅰ）分別判斷集合B={-1，0，1}，有理數(shù)集Q是否是“好集”，并說明理由；
（Ⅱ）設集合A是“好集”，求證：若x-y∈A，則x+y∈A；
（Ⅲ）對任意的一個“好集”A，分別判斷下面命題的真假，并說明理由．
命題p：若x，y∈A，則必有xy∈A；
命題q：若x，y∈A，且x≠0，則必有

y

x

∈A．

Answer 1

分析：（1）利用“好集”的概念和集合B，能夠推導出集合B不是“好集”，有理數(shù)集Q是“好集”．
（2）集合A是“好集”，利用“好集”的概念，能夠證明若x-y∈A，則x+y∈A．
（3）利用“好集”的概念，由任意的一個“好集”A，能夠推導出命題p：若x，y∈A，則必有xy∈A和命題q：若x，y∈A，且x≠0，則必有

y

x

∈A都是真命題．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）集合B不是“好集”．
理由是：假設集合B是“好集”．
因為-1∈B，1∈B，所以-1-1=-2∈B．這與-2∉B矛盾．…（2分）
有理數(shù)集Q是“好集”．因為0∈Q，1∈Q，
對任意的x，y∈Q，有x-y∈Q，且x≠0時，

1

x

∈Q．
所以有理數(shù)集Q是“好集”．…（4分）
（Ⅱ）因為集合A是“好集”，
所以 0∈A．若x，y∈A，則0-y∈A，即-y∈A．
所以x-（-y）∈A，即x+y∈A．…（7分）
（Ⅲ）命題p，q均為真命題．理由如下：…（9分）
對任意一個“好集”A，任取x，y∈A，
若x，y中有0或1時，顯然xy∈A．
下設x，y均不為0，1．由定義可知：x-1，

1

x-1

，

1

x

∈A．
所以

1

x-1

-

1

x

∈A，即

1

x(x-1)

∈A．
所以x（x-1）∈A．
由（Ⅱ）可得：x（x-1）+x∈A，即x²∈A．同理可得y²∈A．
若x+y=0或x+y=1，則顯然（x+y）²∈A．
若x-y=0，或x-y=1，則（x-y）²∈A．
所以2xy=（x+y）²-x²-y²∈A．
所以

1

2xy

∈A．
由（Ⅱ）可得：

1

xy

=

1

2xy

+

1

2xy

∈A．
所以 xy∈A．
綜上可知，xy∈A，即命題p為真命題．
若x，y∈A，且x≠0，則

1

x

∈A．
所以

y

x

=y•

1

x

∈A，即命題q為真命題．…（14分）

點評：本題考查命題的真假的判斷和應用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，熟練掌握“好集”的概念，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．