Question

一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是

2

5

；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是

7

9

．
（Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于

7

10

．并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．

Answer 1

分析：（I）首先根據(jù)從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是

7

9

，列出關(guān)系式，得到白球的個(gè)數(shù)，從袋中任意摸出3個(gè)球，白球的個(gè)數(shù)為ξ，根據(jù)題意得到變量可能的取值，結(jié)合對(duì)應(yīng)的事件，寫出分布列和期望．
（II）設(shè)出兩種球的個(gè)數(shù)，根據(jù)從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于

7

10

，得到兩個(gè)未知數(shù)之間的關(guān)系，得到白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于

2

5

n，紅球的個(gè)數(shù)少于

n

5

，得到袋中紅球個(gè)數(shù)最少．

解答：解：（Ⅰ）記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件A，
設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，
則P(A)=1-

C 2 10-x

C 2 10

=

7

9

，
得到x=5．
故白球有5個(gè)．
隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，
∴分布列是

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=

1

12

×0+

5

12

×1+

5

12

×2+

1

12

×3=

3

2

．
（Ⅱ）證明：設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，由題意得y=

2

5

n，
∴2y＜n，2y≤n-1，
故

y

n-1

≤

1

2

．
記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，
則P(B)=

2

5

+

3

5

×

y

n-1

≤

2

5

+

3

5

×

1

2

=

7

10

．
∴白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于

2

5

n，紅球的個(gè)數(shù)少于

n

5

．
故袋中紅球個(gè)數(shù)最少．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列組合、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率和隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，同時(shí)考查學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力．