Question

若不等式對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解法一：顯然k＞0．（+）²≤k²（2x+y）?（2k²-1）x-2+（k²-1）y≥0對(duì)于x，y＞0恒成立．兩邊同除以y得（2k²-1）-2+（k²-1）≥0
令t=＞0，則得f（t）=（2k²-1）t²-2t+（k²-1）≥0對(duì)一切t＞0恒成立．
當(dāng)2k²-1≤0時(shí)，不等式不能恒成立，故2k²-1＞0．
此時(shí)當(dāng)t=時(shí)，f（t）取得最小值-+k²-1==．
當(dāng)2k²-1＞0且2k²-3≥0，即k≥時(shí)，不等式恒成立，且當(dāng)x=4y＞0時(shí)等號(hào)成立．
∴k∈[，+∞）．
解法二：顯然k＞0，故k²≥=，令t=＞0，，則k²≥=（1+）．2t²+1
令u=4t+1＞1，則t=，=只要求s（u）=的最大值．
s（u）=≤=2，于是（1+）≤（1+2）=．
∴k²≥，即k≥時(shí)，不等式恒成立（當(dāng)x=4y＞0時(shí)等號(hào)成立）．
又：令s（t）=，則s′（t）==，t＞0時(shí)有駐點(diǎn)t=．且在0＜t＜時(shí)，s′（t）＞0，在t＞時(shí)，s′（t）＜0，即s（t）在t=時(shí)取得最大值2，此時(shí)有k²≥（1+s（））=．
解法三：由Cauchy不等式，（+）²≤（+1）（2x+y）．
即（+）≤對(duì)一切正實(shí)數(shù)x，y成立．
當(dāng)k＜時(shí)，取x=，y=1，有+=，而k=k＜×=．即不等式不能恒成立．
而當(dāng)k≥時(shí)，由于對(duì)一切正實(shí)數(shù)x，y，都有+≤≤k，故不等式恒成立．
∴k∈[，+∞）．
分析：解法一：將原式兩邊平方，并移向得出（2k²-1）x-2+（k²-1）y≥0對(duì)于x，y＞0恒成立．兩邊同除以y得（2k²-1）-2+（k²-1）≥0，令t=＞0，構(gòu)造得出f（t）=（2k²-1）t²-2t+（k²-1）≥0對(duì)一切t＞0恒成立．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
解法二：先將k分離，再平方得出k²≥=，令t=＞0，，則k²≥=（1+）．只需求出的最大值即可，可以利用基本不等式或?qū)��?shù)法求出．
解法三：由Cauchy不等式，（+）²≤（+1）（2x+y）．即（+）≤對(duì)一切正實(shí)數(shù)x，y成立．分k＜，k≥兩種情況討論．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道函數(shù)恒成立問題，本別采用了構(gòu)造轉(zhuǎn)化為含參數(shù)函數(shù)最值問題；分離參數(shù)后，利用基本不等式或?qū)��?shù)法求分式函數(shù)最值問題．這兩種思路和方法是常用的．另外本題還可以利用Cauchy不等式求解．