Question

已知在（

x

+

3	x

）ⁿ（其中n＜15）的展開式中：
（1）求二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和；
（2）若展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值；
（3）在（2）的條件下寫出它展開式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）由二項(xiàng)式系數(shù)即為該項(xiàng)的系數(shù)，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可得到；
（2）由展開式中的通項(xiàng)，得到各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)公式，化簡整理，解方程即可求出n；
（3）寫出通項(xiàng)，化簡整理，判斷r是6的倍數(shù)，又0≤r≤14，列舉出所有的有理項(xiàng)即可．

解答： 解：（1）∵二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)就是各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

C

0 n

，

C

1 n

，

C

2 n

，…，

C

n n

，
∴各項(xiàng)系數(shù)之和為

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2n
（2）(

x

+

3	x

)n（其中n＜15）的展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是

C

8 n

，

C

9 n

，

C

10 n

．
依題意得

C

8 n

+

C

10 n

=2

C

9 n

，
寫成：

n!

8!(n-8)!

+

n!

10!(n-10)!

=2•

n!

9!(n-9)!

，
化簡得90+（n-9）（n-8）=2•10（n-8），
即：n²-37n+322=0，解得n=14或n=23，
∵n＜15，∴n=14．
（2）展開式的通項(xiàng)Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

∴展開式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)，又0≤r≤14，
∴展開式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)是：r=0，T1=

C

0 14

x7=x7；r=6，T7=

C

6 14

x6=164x6；r=12，T13=

C

12 14

x5=91x5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，注意運(yùn)用通項(xiàng)公式求某一項(xiàng)，區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與某一項(xiàng)的系數(shù)，注意隱含條件的運(yùn)用，考查組合數(shù)的公式及指數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．