11.已知函數(shù)f(x)=$\frac{2a}{e}$x-lnx(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),求證:f(x)-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$>0.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)性,判斷函數(shù)的極值點(diǎn)即可;
(Ⅱ)令g(x)=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$,問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)min>g(x)max,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,分別求出其最小值和最大值,從而證出結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=$\frac{2a}{e}$-$\frac{1}{x}$,
a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)遞減,無極值;
a>0時(shí),令f′(x)>0,解得:x>$\frac{e}{2a}$,
令f′(x)<0,解得:x<$\frac{e}{2a}$,
∴f(x)在(0,$\frac{e}{2a}$)遞減,在($\frac{e}{2a}$,+∞)遞增,
∴x=$\frac{e}{2a}$是函數(shù)的極小值點(diǎn);
(Ⅱ)證明:a=1時(shí),f(x)=$\frac{2}{e}$x-lnx,
由(Ⅰ)f(x)的最小值是f($\frac{e}{2}$)=ln2≈0.693,
令g(x)=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$,(x>0),g′(x)=$\frac{x(2-x)}{{e}^{x}}$,
令g′(x)>0,解得:0<x<2,令g′(x)<0,解得:x>2,
∴g(x)在(0,2)遞增,在(2,+∞)遞減,
∴g(x)max=g(2)=$\frac{4}{{e}^{2}}$≈0.545,
故f(x)min>g(x)max
故當(dāng)a=1時(shí),f(x)-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$>0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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20.在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)(1,1)的距離,記點(diǎn)P的軌跡為曲線W,則下列命題中:
①曲線W關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;            
②曲線W關(guān)于x軸對(duì)稱;
③曲線W關(guān)于y軸對(duì)稱;            
④曲線W關(guān)于直線y=x對(duì)稱
所有真命題的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

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2.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)D(1,y0)是拋物線上的點(diǎn),且|DF|=2.
(I)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過定點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,且滿足:$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{NB}$=μ$\overrightarrow{BM}$.
(i)當(dāng)m=$\frac{p}{2}$時(shí),求證:λ+μ為定值;
(ii)若點(diǎn)R是直線l:x=-m上任意一點(diǎn),三條直線AR,BR,MR的斜率分別為kAR,kBR,kMR,問是否存在常數(shù)t,使得.kAR+kBR=t•kMR.恒成立?若存在求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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19.比較30.2與log30.2的大小,按從小到大的順序?yàn)閘og30.2<30.2

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6.已知函數(shù)f(x)=$\frac{ax}{4{x}^{2}+16}$,g(x)=($\frac{1}{2}$)|x-a|,其中a∈R.
(1)若y=g(x)在[1,$\frac{3}{2}$]上的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)函數(shù)p(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x≥2}\\{g(x),x<2}\end{array}\right.$,若對(duì)任意x1∈[2,+∞],總存在唯一的x2∈(-∞,2),使得p(x1)=p(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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16.在凸多邊形當(dāng)中顯然有F+V-E=1(其中F:面數(shù),V:頂點(diǎn)數(shù),E:邊數(shù))類比到空間凸多面體中有相應(yīng)的結(jié)論為;F+V-E=2.

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3.已知不等式|a-2x|>x-1,對(duì)任意x∈[1,2]恒成立,則a的取值范圍為(-∞,2)∪(5,+∞).

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20.已知向量|$\overrightarrow a}$|=4,$\overrightarrow e$為單位向量,當(dāng)他們之間的夾角為$\frac{π}{3}$時(shí),$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影與$\overrightarrow{e}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影分別為( 。
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1.在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中,某班40名學(xué)生的成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示(學(xué)生成績(jī)都在[50,100]之間).
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中a的值,并估算該班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值;
(Ⅱ)若規(guī)定成績(jī)達(dá)到90分及以上為優(yōu)秀,從該班40名學(xué)生中任選2人,求至少有一人成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率.

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