分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)性,判斷函數(shù)的極值點(diǎn)即可;
(Ⅱ)令g(x)=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$,問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)min>g(x)max,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,分別求出其最小值和最大值,從而證出結(jié)論.
解答 解:(Ⅰ)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=$\frac{2a}{e}$-$\frac{1}{x}$,
a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)遞減,無極值;
a>0時(shí),令f′(x)>0,解得:x>$\frac{e}{2a}$,
令f′(x)<0,解得:x<$\frac{e}{2a}$,
∴f(x)在(0,$\frac{e}{2a}$)遞減,在($\frac{e}{2a}$,+∞)遞增,
∴x=$\frac{e}{2a}$是函數(shù)的極小值點(diǎn);
(Ⅱ)證明:a=1時(shí),f(x)=$\frac{2}{e}$x-lnx,
由(Ⅰ)f(x)的最小值是f($\frac{e}{2}$)=ln2≈0.693,
令g(x)=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$,(x>0),g′(x)=$\frac{x(2-x)}{{e}^{x}}$,
令g′(x)>0,解得:0<x<2,令g′(x)<0,解得:x>2,
∴g(x)在(0,2)遞增,在(2,+∞)遞減,
∴g(x)max=g(2)=$\frac{4}{{e}^{2}}$≈0.545,
故f(x)min>g(x)max,
故當(dāng)a=1時(shí),f(x)-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$>0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 2$\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | 2,$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$,2$\sqrt{3}$ | D. | 2,2 |
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