Question

已知橢圓=1（a＞b＞0）長軸長與短軸長之差是，且右焦點(diǎn)F到此橢圓一個(gè)短軸端點(diǎn)的距離為，點(diǎn)C（m，0）是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得（+），并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知a-b=-1，又，a²=b²+c²，
解得a=，b=c=1，
所以橢圓的方程為：；
（Ⅱ）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，①，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=，
所以=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（-2m，），
因?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4022.png' />+），而AB的方向向量為（1，k），
所以-2m+×k=0?（1-2m）k²=m，
所以當(dāng)0≤m時(shí)，k=±，即存在這樣的直線l；
當(dāng)k≤1時(shí)，不存在這樣的直線l．
分析：（I）由長軸長與短軸長之差為，得2a-2b=，由右焦點(diǎn)F到此橢圓一個(gè)短軸端點(diǎn)的距離為，可得a值；
（Ⅱ）先由（1）求得m的范圍，假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（+），得（+）•=0①，易知AB的方向向量為（1，k），聯(lián)立直線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組，消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理、向量運(yùn)算可用k表示+，代入①式得k的方程，有解則存在，否則即不存在；
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生的探究能力，考查學(xué)生對(duì)問題的分析解決能力，存在性問題常假設(shè)存在然后由此出發(fā)進(jìn)行推理．