Question

11．已知P是直線kx+4y-10=0（k＞0）上的動點，是圓C：x²+y²-2x+4y+4=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，若四邊形PACB面積的最小值為$2\sqrt{2}$，則k的值為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{15}{2}$

Answer 1

分析 S_{四邊形PACB}=S_△PAC+S_△PBC，當|PC|取最小值時，|PA|=|PB|取最小值，即S_△PAC=S_△PBC取最小值，此時，CP⊥l由此利用四邊形PACB面積的最小值，即可得出結(jié)論．．

解答 解：圓的標準方程為（x-1）²+（y+2）²=1，
則圓心為C（1，-2），半徑為1，
則直線與圓相離，如圖，S四邊形_PACB=S_△PAC+S_△PBC
而S_△PAC=$\frac{1}{2}$|PA|•|CA|=$\frac{1}{2}$|PA|，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$|PB|•|CB|=|PB|，
又|PA|=|PB|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$，
∴當|PC|取最小值時，|PA|=|PB|取最小值，
即S_△PAC=S_△PBC取最小值，此時，CP⊥l，
四邊形PACB面積的最小值為$2\sqrt{2}$，S_△PAC=S_△PBC=$\sqrt{2}$，
∴|PA|=2$\sqrt{2}$，∴|CP|=3，∴$\frac{|k-8-10|}{\sqrt{{k}^{2}+16}}$=3，
∵k＞0，∴k=3．
故選A．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時要認真審題，在解答過程中要合理地運用數(shù)形結(jié)合思想．